Exploring Exponentially Weighted Moving Genomsnittlig volatilitet är det vanligaste måttet på risk, men det kommer i flera smaker. I en tidigare artikel visade vi hur man beräkna enkel historisk volatilitet. (För att läsa den här artikeln, se Använd volatilitet för att mäta framtida risk.) Vi använde Googles faktiska aktiekursdata för att beräkna den dagliga volatiliteten baserat på 30 dygns lagerdata. I den här artikeln kommer vi att förbättra den enkla volatiliteten och diskutera exponentialvägt rörligt medelvärde (EWMA). Historisk Vs. Implicit Volatilitet Först, låt oss sätta den här metriska in i lite perspektiv. Det finns två breda tillvägagångssätt: historisk och underförstådd (eller implicit) volatilitet. Det historiska tillvägagångssättet förutsätter att förflutet är en prolog som vi mäter historia i hopp om att det är förutsägbart. Implicit volatilitet, å andra sidan, ignorerar historien som den löser för volatiliteten implicerad av marknadspriser. Det hoppas att marknaden vet bäst och att marknadspriset innehåller, även om det implicit är, en konsensusuppskattning av volatiliteten. (För relaterad läsning, se volatilitetens användningar och gränser.) Om vi fokuserar på bara de tre historiska tillvägagångssätten (till vänster ovan), har de två steg gemensamt: Beräkna serien av periodisk avkastning Använd ett viktningsschema För det första Beräkna den periodiska avkastningen. Det är typiskt en serie av dagliga avkastningar där varje avkastning uttrycks i fortlöpande sammansatta termer. För varje dag tar vi den naturliga loggen av förhållandet mellan aktiekurserna (dvs. pris idag dividerat med pris igår, och så vidare). Detta ger en serie dagliga avkastningar, från dig till jag i-m. Beroende på hur många dagar (m dagar) vi mäter. Det får oss till det andra steget: Det är här de tre metoderna skiljer sig åt. I den föregående artikeln (Använd volatilitet för att mäta framtida risker) visade vi att enligt enkla acceptabla förenklingar är den enkla variansen genomsnittet av de kvadrerade avkastningarna: Observera att summan av varje periodisk avkastning delar upp den totala av Antal dagar eller observationer (m). Så det är verkligen bara ett genomsnitt av den kvadrerade periodiska avkastningen. Sätt på ett annat sätt, varje kvadrerad retur får lika stor vikt. Så om alfa (a) är en viktningsfaktor (specifikt en 1m) ser en enkel varians något ut så här: EWMA förbättras på enkel varians Svagheten i denna metod är att alla avkastningar tjänar samma vikt. Yesterdays (väldigt nyligen) avkastning har inget mer inflytande på variansen än i föregående månad tillbaka. Detta problem fastställs med hjälp av exponentiellt viktat glidande medelvärde (EWMA), i vilken nyare avkastning har större vikt på variansen. Det exponentiellt viktade glidande medlet (EWMA) introducerar lambda. Som kallas utjämningsparametern. Lambda måste vara mindre än en. Under det förhållandet, i stället för lika vikter, vägs varje kvadrerad avkastning med en multiplikator enligt följande: RiskMetrics TM, ett finansiellt riskhanteringsföretag, tenderar till exempel att använda en lambda på 0,94 eller 94. I det här fallet är den första ( Senaste) kvadratiska periodiska avkastningen vägs av (1-0,94) (.94) 0 6. Nästa kvadrerade retur är helt enkelt en lambda-multipel av den tidigare vikten i detta fall 6 multiplicerat med 94 5,64. Och den tredje föregående dagens vikt är lika med (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Det är betydelsen av exponentiell i EWMA: varje vikt är en konstant multiplikator (dvs lambda, som måste vara mindre än en) av den tidigare dagens vikt. Detta säkerställer en varians som är viktad eller partisk mot senare data. (Mer information finns i Excel-kalkylbladet för Googles volatilitet.) Skillnaden mellan helt enkelt volatilitet och EWMA för Google visas nedan. Enkel volatilitet väger effektivt varje periodisk avkastning med 0,196 som visas i kolumn O (vi hade två års daglig aktiekursdata, det vill säga 509 dagliga avkastningar och 1509 0,196). Men märk att kolumn P tilldelar en vikt av 6, sedan 5,64, sedan 5,3 och så vidare. Det är den enda skillnaden mellan enkel varians och EWMA. Kom ihåg: När vi summerar hela serien (i kolumn Q) har vi variansen, vilket är kvadraten av standardavvikelsen. Om vi vill ha volatilitet, måste vi komma ihåg att ta kvadratroten av den variansen. Vad är skillnaden i den dagliga volatiliteten mellan variansen och EWMA i Googles fall. Det är viktigt: Den enkla variansen gav oss en daglig volatilitet på 2,4 men EWMA gav en daglig volatilitet på endast 1,4 (se kalkylbladet för detaljer). Uppenbarligen avtog Googles volatilitet mer nyligen, därför kan en enkel varians vara artificiellt hög. Dagens Varians är en funktion av Pior Days Variance Du märker att vi behövde beräkna en lång serie av exponentiellt sjunkande vikter. Vi brukar inte göra matematiken här, men en av EWMA: s bästa egenskaper är att hela serien reduceras bekvämt till en rekursiv formel: Rekursiv betyder att dagens variansreferenser (det vill säga är en funktion av den tidigare dagens varians). Du kan även hitta denna formel i kalkylbladet, och det ger exakt samma resultat som longhandberäkningen. Det står: Dagens varians (under EWMA) motsvarar ysterdays variance (viktad med lambda) plus ysterdays squared return (vägd av en minus lambda). Lägg märke till hur vi bara lägger till två termer tillsammans: Vardagens viktiga varians och gårdagens viktiga, kvadrerade avkastning. Ändå är lambda vår utjämningsparameter. En högre lambda (t ex som RiskMetrics 94) indikerar långsammare sönderfall i serien - relativt sett kommer vi att ha fler datapunkter i serien och de kommer att falla av långsammare. Å andra sidan, om vi reducerar lambda, indikerar vi högre sönderfall: vikterna faller av snabbare och som ett direkt resultat av det snabba förfallet används färre datapunkter. (I kalkylbladet är lambda en ingång, så du kan experimentera med sin känslighet). Sammanfattning Volatilitet är den aktuella standardavvikelsen för ett lager och den vanligaste riskvärdet. Det är också kvadratrot av varians. Vi kan mäta varians historiskt eller implicit (implicit volatilitet). När man mäter historiskt är den enklaste metoden enkel varians. Men svagheten med enkel varians är alla avkastningar får samma vikt. Så vi står inför en klassisk avvägning: vi vill alltid ha mer data, men ju mer data vi har desto mer är vår beräkning utspädd med avlägsna (mindre relevanta) data. Det exponentiellt vägda glidande genomsnittet (EWMA) förbättras på enkel varians genom att tilldela vikter till periodisk avkastning. Genom att göra detta kan vi båda använda en stor samplingsstorlek men ge också större vikt till nyare avkastningar. (För att se en filmhandledning om detta ämne, besök Bionic Turtle.) Ett första bud på ett konkursföretag039s tillgångar från en intresserad köpare vald av konkursbolaget. Från en pool av budgivare. Artikel 50 är en förhandlings - och avvecklingsklausul i EU-fördraget som beskriver de åtgärder som ska vidtas för vilket land som helst. Beta är ett mått på volatiliteten, eller systematisk risk, av en säkerhet eller en portfölj i jämförelse med marknaden som helhet. En typ av skatt som tas ut på kapitalvinster som uppkommit av individer och företag. Realisationsvinster är vinsten som en investerare. En beställning att köpa en säkerhet till eller under ett angivet pris. En köpgränsorder tillåter näringsidkare och investerare att specificera. En IRS-regel (Internal Revenue Service Rule) som tillåter utbetalningar från ett IRA-konto i samband med straff. Regeln kräver att. EWMA-tillvägagångssättet har en attraktiv funktion: det kräver relativt lite lagrad data. För att uppdatera vår uppskattning när som helst behöver vi bara en tidigare uppskattning av variansräntan och det senaste observationsvärdet. Ett sekundärt mål för EWMA är att spåra förändringar i volatiliteten. För små värden påverkar de senaste observationerna uppskattningen omedelbart. För värden närmare en beräknas beräkningen långsamt baserat på senaste förändringar i avkastningen för den underliggande variabeln. RiskMetrics-databasen (tillverkad av JP Morgan och offentliggjord tillgänglig) använder EWMA för uppdatering av den dagliga volatiliteten. VIKTIGT: EWMA-formuleringen antar inte en långvarig medelvarianivå. Konceptet om volatilitet betyder att omvändning inte fångas av EWMA. ARCHGARCH-modellerna är bättre lämpade för detta ändamål. Ett sekundärt mål för EWMA är att spåra förändringar i volatiliteten, så för små värden påverkar den senaste observationen uppskattningen omedelbart och för värden närmare en ändras uppskattningen långsamt till de senaste förändringarna i den underliggande variabelns avkastning. RiskMetrics-databasen (producerad av JP Morgan) och offentliggjord tillgänglig 1994, använder EWMA-modellen för uppdatering av den dagliga volatilitetsberäkningen. Företaget fann att över en rad marknadsvariabler, ger detta värde en prognos om variansen som kommer närmast realiserad variansränta. De realiserade variansräntorna på en viss dag beräknades som ett lika viktat medelvärde på de följande 25 dagarna. På samma sätt, för att beräkna det optimala värdet av lambda för vår dataset, måste vi beräkna den realiserade volatiliteten vid varje punkt. Det finns flera metoder, så välj en. Därefter beräkna summan av kvadrerade fel (SSE) mellan EWMA uppskattning och realiserad volatilitet. Slutligen minimera SSE genom att variera lambda-värdet. Låter enkelt Det är. Den största utmaningen är att komma överens om en algoritm för att beräkna realiserad volatilitet. Till exempel valde personerna i RiskMetrics de följande 25 dagarna för att beräkna realiserad variansgrad. I ditt fall kan du välja en algoritm som utnyttjar dagliga volymer, HILO andor OPEN-CLOSE-priser. Q 1: Kan vi använda EWMA för att estimera (eller prognostisera) volatiliteten mer än ett steg framåt? EWMA-volatilitetsrepresentationen antar inte en långsiktig genomsnittlig volatilitet och sålunda, för en prognoshorisont utöver ett steg, returnerar EWMA en konstant Värde: GARCH och EWMA 21 maj 2010 av David Harper, CFA, FRM, CIPM AIM: Jämför, kontrast och beräkna parametriska och icke parametriska tillvägagångssätt för uppskattning av villkorlig volatilitet 8230 Inklusive: GARCH APPROACH Inklusive: EXPONENTIAL SMOOTHING (EWMA) Exponentiell utjämning Parametrisk) Moderna metoder lägger större vikt på ny information. Både EWMA och GARCH lägger större vikt vid ny information. Dessutom, eftersom EWMA är ett speciellt fall av GARCH, utnyttjar både EWMA och GARCH exponentiell utjämning. GARCH (p, q) och i synnerhet GARCH (1, 1) GARCH (p, q) är en allmän autoregressiv villkorad heteroskedastisk modell. Viktiga aspekter är: Autoregressive (AR). Tomorrow8217s varians (eller volatilitet) är en regressionsfunktion av today8217s variance8212it regresserar sig själv Conditional (C). Tomorrow8217s varians beror8212 är villkorat på8212 den senaste variansen. En ovillkorlig varians skulle inte bero på today8217s varians Heteroskedastic (H). Variationer är inte konstanta, de fluxar över tiden GARCH regressar på 8220lagged8221 eller historiska termer. De försenade termerna är antingen varians eller kvadrerade avkastningar. Den generiska GARCH-modellen (p, q) regrar på (p) kvadrerade avkastningar och (q) variationer. Därför GARCH (1, 1) 8220lags8221 eller regrar på den senaste perioden8217s kvadrerade retur (dvs bara 1 retur) och sista perioden8217s varians (dvs bara 1 varians). GARCH (1, 1) ges med följande ekvation. Samma GARCH (1, 1) formel kan ges med grekiska parametrar: Hull skriver samma GARCH ekvation som: Den första termen (gVL) är viktig eftersom VL är den långsiktiga genomsnittliga variansen. Därför är (gVL) en produkt: det är den viktade långsiktiga genomsnittliga variansen. GARCH (1, 1) - modellen löser för villkorlig varians som en funktion av tre variabler (tidigare varians, tidigare retur2 och långvarig varians): Persistens är en funktion inbäddad i GARCH-modellen. Tips: I ovanstående formler är persistens (b c) eller (alfa-1 beta). Persistens hänvisar till hur snabbt (eller långsamt) variansen återgår eller 8220decays8221 mot dess långsiktiga medelvärde. Hög uthållighet motsvarar långsamt förfall och långsam 8220regression mot medel8221 låg persistens motsvarar snabb fördröjning och snabb 8220reversion till medelvärdet.8221 En persistens av 1,0 innebär ingen genomsnittsbackning. En persistens på mindre än 1,0 innebär 8220reversion till medelvärdet, 8221, där en lägre persistens innebär större återgång till medelvärdet. Tips: Som ovan är summan av vikterna som tilldelats den fördröjda variansen och fördröjda kvadrerade avkastningen persistens (bc persistens). En hög persistens (större än noll men mindre än en) innebär långsam omgång till medelvärdet. Men om vikterna som tilldelats den fördröjda variansen och fördröjda kvadrerade avkastningen är större än en, är modellen icke-stationär. Om (bc) är större än 1 (om bc gt 1) är modellen icke-stationär och, enligt Hull, instabil. I vilket fall föredras EWMA. Linda Allen säger om GARCH (1, 1): GARCH är både 8220compact8221 (dvs relativt enkel) och anmärkningsvärt noggrann. GARCH-modellerna dominerar i vetenskaplig forskning. Många variationer av GARCH-modellen har försökt, men få har förbättrats på originalet. Nackdelen med GARCH-modellen är dess nonlinearitet sic Till exempel: Lös för långvarig varians i GARCH (1,1) Tänk på GARCH (1, 1) ekvation nedan: Antag att: alfaparametern 0,2, beta-parametern 0,7, Och Observera att omega är 0,2 men don8217t misstänker omega (0,2) för den långvariga variansen Omega är en produkt av gamma och den långvariga variansen. Så, om alpha beta 0.9 måste gamma vara 0,1. Med tanke på att omega är 0,2 vet vi att den långsiktiga variansen måste vara 2,0 (0,2 184 0,1 2,0). GARCH (1,1): Mer notationsskillnad mellan Hull och Allen EWMA är ett speciellt fall av GARCH (1,1) och GARCH (1,1) är ett generaliserat fall av EWMA. Den viktigaste skillnaden är att GARCH inkluderar ytterligare termen för genomsnittlig reversering och EWMA saknar en genomsnittlig reversering. Så här kommer vi från GARCH (1,1) till EWMA: Då släpper vi 0 och (bc) 1, så att ovanstående ekvation förenklas till: Detta motsvarar nu formeln för exponentiellt vägat glidande medelvärde (EWMA): I EWMA bestämmer lambda-parametern nu 8220decay: 8221 en lambda som ligger nära en (hög lambda) uppvisar långsamt sönderfall. RiskMetricsTM Approach RiskMetrics är en märkesform av exponentialvägt rörligt medelvärde (EWMA): Den optimala (teoretiska) lambda varierar efter tillgångsklass, men den övergripande optimala parametern som används av RiskMetrics har varit 0.94. I praktiken använder RiskMetrics endast en sönderfallsfaktor för alla serier: 183 0,94 för dagliga data 183 0,97 för månadsdata (månad definierad som 25 handelsdagar) Tekniskt sett är dagliga och månatliga modeller inkonsekventa. De är dock båda lätta att använda, de approximerar beteendet hos faktiska data ganska bra, och de är robusta till misspecifikation. Obs! GARCH (1, 1), EWMA och RiskMetrics är parametriska och rekursiva. Rekursiva EWMA-fördelar och nackdelar med MA (dvs STDEV) vs GARCH Grafisk sammanfattning av parametriska metoder som tilldelar mer vikt till senaste avkastning (GARCH amp EWMA) Sammanfattningstips: GARCH (1, 1) är generaliserade RiskMetrics och omvänt är RiskMetrics Begränsat fall av GARCH (1,1) där en 0 och (bc) 1. GARCH (1, 1) ges av: De tre parametrarna är vikter och därför måste summa till en: Tips: Var försiktig med första termen i GARCH (1, 1) ekvation: omega () gamma () (genomsnittlig långvarig varians). Om du uppmanas till variansen kan du behöva dela upp vikten för att beräkna den genomsnittliga variansen. Bestäm när och huruvida en GARCH - eller EWMA-modell ska användas vid volatilitetsuppskattning. I praktiken tenderar variansräntorna att vara genomsnittliga. Därför är GARCH (1, 1) modellen teoretiskt överlägsen (8220 mer tilltalande än8221) till EWMA-modellen. Kom ihåg att that8217s är den stora skillnaden: GARCH lägger till parametern som väger det långsiktiga genomsnittet och innehåller därför genomsnittsbackning. Tips: GARCH (1, 1) är att föredra om inte den första parametern är negativ (vilket är underförstått om alfa beta gt 1). I detta fall är GARCH (1,1) instabilt och EWMA föredras. Förklara hur GARCH-uppskattningarna kan ge prognoser som är mer exakta. Det rörliga medlet beräknar variansen baserat på ett efterföljande fönster av observationer, t. ex. De föregående tio dagarna, de föregående 100 dagarna. Det finns två problem med glidande medelvärdet (MA): Ghosting-funktionen: Volatilitetschocker (plötsliga ökningar) inkorporeras plötsligt i MA-metriska och då, när det bakre fönstret passerar, faller de brått från beräkningen. På grund av detta kommer MA-metriska att skifta i förhållande till den valda fönsterlängden. Trendinformation är inte införlivad. GARCH-uppskattningar förbättrar dessa svagheter på två sätt: Nyare observationer har tilldelats större vikter. Detta övervinner spöken eftersom en volatilitetschock omedelbart kommer att påverka uppskattningen, men dess inflytande kommer att blekna gradvis när tiden går. En term läggs till för att införliva reversion till medelvärdet. Förklara hur uthållighet är relaterad till återgången till medelvärdet. GARCH (1, 1) ekvation: Persistens ges av: GARCH (1, 1) är instabilt om persistensen gt 1. En persistens av 1,0 indikerar ingen genomsnittlig reversion. En låg persistens (t ex 0,6) indikerar snabbt förfall och hög reversering till medelvärdet. Tips: GARCH (1, 1) har tre vikter tilldelade tre faktorer. Persistens är summan av vikterna som tilldelas både den fördröjda variansen och fördröjda kvadrerade avkastningen. Den andra vikten tilldelas den långvariga variansen. Om P-persistens och G-vikt tilldelas långvarig varians, då PG 1. Därför är P (persistens) hög, då G (genomsnittlig reversion) låg: den ihållande serien är inte starkt medelvärdet återgår den uppvisar 8220slow decay8221 mot betyda. Om P är låg måste G vara hög: den impersistenta serien betyder starkt att den återgår, den uppvisar 8220rapid decay8221 mot medelvärdet. Den genomsnittliga, ovillkorliga variansen i GARCH-modellen (1, 1) ges av: Förklara hur EWMA systematiskt rabatterar äldre data och identifiera RiskMetrics174 dagliga och månatliga nedbrytningsfaktorer. Det exponentiellt viktade glidande medlet (EWMA) ges av: Ovanstående formel är en rekursiv förenkling av 8220true8221 EWMA-serien som ges av: I EWMA-serien är varje vikt som tilldelats kvadrerade avkastning ett konstant förhållande av föregående vikt. Specifikt är lambda (l) förhållandet mellan närliggande vikter. På så sätt diskuteras äldre data systematiskt. Den systematiska rabatten kan vara gradvis (långsam) eller abrupt, beroende på lambda. Om lambda är hög (t ex 0,99), är diskonteringen mycket gradvis. Om lambda är låg (t ex 0,7) är diskonteringen mer abrupt. RiskMetrics TM sönderfallsfaktorer: 0,94 för dagliga data 0,97 för månadsdata (månad definierad som 25 handelsdagar) Förklara varför prognoskorrelationer kan vara viktigare än prognosvolatiliteter. Vid mätning av portföljrisk kan korrelationer vara viktigare än enskilda instrumentvolatilitetsvarianter. I samband med portföljrisk kan en korrelationsprognos därför vara viktigare än de enskilda volatilitetsprognoserna. Använd GARCH (1, 1) för att prognostisera volatiliteten Den förväntade framtida variansräntan, i (t) perioder framåt, ges av: Antag exempelvis att en nuvarande volatilitetsuppskattning (period n) ges av följande GARCH (1, 1) ) Ekvation: I det här exemplet är alfabetet den vikt (0,1) som tilldelats den föregående kvadrerade avkastningen (den tidigare avkastningen var 4), beta är vikten (0.7) tilldelad den tidigare variansen (0.0016). Vad är den förväntade framtida volatiliteten, om tio dagar (n 10) Först lösa lösningen på lång sikt. Det är inte 0.00008 denna term är produkten av variansen och dess vikt. Eftersom vikten måste vara 0,2 (1 - 0,1-0,7), den långa variationen 0.0004. För det andra behöver vi nuvarande varians (period n). Det är nästan givet till oss ovan: Nu kan vi tillämpa formeln för att lösa den förväntade framtida variansgraden: Det här är den förväntade variansräntan, så den förväntade volatiliteten är cirka 2,24. Lägg märke till hur det här fungerar: den nuvarande volatiliteten är cirka 3,69 och den långsiktiga volatiliteten är 2. Den 10-dagars framåtprojektionen 8220fades8221 den nuvarande hastigheten närmare den långa räntan. Nonparametric Volatility ForecastingMoving genomsnittliga och exponentiella utjämningsmodeller Som ett första steg för att flytta bortom genomsnittliga modeller kan slumpmässiga gångmodeller och linjära trendmodeller, nonseasonal mönster och trender extrapoleras med hjälp av en rörlig genomsnitts - eller utjämningsmodell. Det grundläggande antagandet bakom medelvärdes - och utjämningsmodeller är att tidsserierna är lokalt stationära med ett långsamt varierande medelvärde. Därför tar vi ett rörligt (lokalt) medelvärde för att uppskatta det nuvarande värdet av medelvärdet och sedan använda det som prognosen för den närmaste framtiden. Detta kan betraktas som en kompromiss mellan medelmodellen och slumpmässig-walk-without-drift-modellen. Samma strategi kan användas för att uppskatta och extrapolera en lokal trend. Ett rörligt medelvärde kallas ofta en quotsmoothedquot-version av den ursprungliga serien, eftersom kortsiktig medelvärde medför att utjämning av stötarna i originalserien. Genom att justera graden av utjämning (bredden på glidande medelvärdet) kan vi hoppas att hitta någon form av optimal balans mellan prestandan hos medel och slumpmässiga gångmodeller. Den enklaste typen av medelvärdesmodell är. Enkelt (lika viktat) Flyttande medelvärde: Prognosen för värdet av Y vid tiden t1 som görs vid tid t motsvarar det enkla medelvärdet av de senaste m-observationerna: (Här och på annat håll använder jag symbolen 8220Y-hat8221 för att stå För en prognos av tidsserie Y som gjordes snarast möjligt före datum med en given modell.) Detta medel är centrerat vid period-t (m1) 2, vilket innebär att uppskattningen av det lokala medelvärdet tenderar att ligga bakom det sanna Värdet av det lokala medelvärdet med ca (m1) 2 perioder. Således säger vi att medelåldern för data i det enkla glidande medlet är (m1) 2 i förhållande till den period för vilken prognosen beräknas: det här är hur lång tid prognoserna tenderar att ligga bakom vändpunkter i data . Om du till exempel medger de senaste 5 värdena, kommer prognoserna att vara ca 3 perioder sent för att svara på vändpunkter. Observera att om m1 är den enkla glidande genomsnittsmodellen (SMA) motsvarar den slumpmässiga gångmodellen (utan tillväxt). Om m är mycket stor (jämförbar med längden på uppskattningsperioden), motsvarar SMA-modellen medelvärdet. Precis som med vilken parameter som helst av en prognosmodell, är det vanligt att justera värdet på k för att få den bästa kvotkvoten till data, dvs de minsta prognosfelen i genomsnitt. Här är ett exempel på en serie som verkar utgöra slumpmässiga fluktuationer runt ett långsamt varierande medelvärde. Först kan vi försöka passa den med en slumpmässig promenadmodell, vilket motsvarar ett enkelt glidande medelvärde på 1 term: Slumpmässig gångmodell svarar väldigt snabbt på förändringar i serien, men därigenom väljer man mycket av kvotenhetskvoten i Data (de slumpmässiga fluktuationerna) samt quotsignalquot (den lokala medelvärdet). Om vi istället försöker ett enkelt glidande medelvärde på 5 termer får vi en snyggare uppsättning prognoser: Det 5-åriga enkla glidande medlet ger betydligt mindre fel än den slumpmässiga gångmodellen i det här fallet. Medelåldern för data i denna prognos är 3 ((51) 2), så att den tenderar att ligga bakom vändpunkter med cirka tre perioder. (Till exempel verkar en nedgång ha skett i period 21, men prognoserna vänder inte om till flera perioder senare.) Notera att de långsiktiga prognoserna från SMA-modellen är en horisontell rak linje, precis som i slumpmässig promenad modell. Således antar SMA-modellen att det inte finns någon trend i data. Men medan prognoserna från den slumpmässiga promenadmodellen helt enkelt motsvarar det senast observerade värdet är prognoserna från SMA-modellen lika med ett vägt genomsnitt av de senaste värdena. De konfidensbegränsningar som beräknas av Statgraphics för de långsiktiga prognoserna för det enkla glidande genomsnittet blir inte större eftersom prognostiseringshorisonten ökar. Det här är uppenbarligen inte korrekt Tyvärr finns det ingen underliggande statistisk teori som berättar hur konfidensintervallen borde utvidgas för denna modell. Det är dock inte så svårt att beräkna empiriska uppskattningar av konfidensgränserna för prognosen för längre tid. Du kan till exempel skapa ett kalkylblad där SMA-modellen skulle användas för att prognostisera två steg framåt, 3 steg framåt etc. i det historiska dataprov. Därefter kan du beräkna felfunktionens avvikelser vid varje prognoshorisont och sedan konstruera konfidensintervaller för längre siktprognoser genom att lägga till och subtrahera multiplar med lämplig standardavvikelse. Om vi försöker ett 9-sikt enkelt glidande medelvärde får vi ännu jämnare prognoser och mer av en eftersläpande effekt: Medelåldern är nu 5 perioder ((91) 2). Om vi tar ett 19-årigt glidande medel ökar medeltiden till 10: Observera att prognoserna nu försvinner nu bakom vändpunkter med cirka 10 perioder. Vilken mängd utjämning är bäst för denna serie Här är en tabell som jämför deras felstatistik, inklusive ett 3-siktigt genomsnitt: Modell C, det 5-åriga glidande genomsnittet, ger det lägsta värdet av RMSE med en liten marginal över 3 - term och 9-medeltal, och deras andra statistik är nästan identiska. Så, bland modeller med mycket liknande felstatistik kan vi välja om vi föredrar lite mer respons eller lite mer jämnhet i prognoserna. (Tillbaka till början av sidan.) Browns Simple Exponential Smoothing (exponentiellt vägd glidande medelvärde) Den enkla glidande medelmodellen som beskrivs ovan har den oönskade egenskapen som den behandlar de senaste k-observationerna lika och fullständigt ignorerar alla föregående observationer. Intuitivt bör tidigare data diskonteras mer gradvis - till exempel bör den senaste observationen få lite mer vikt än 2: a senast, och den 2: a senaste bör få lite mer vikt än den 3: e senaste, och så vidare. Den enkla exponentiella utjämningens (SES) - modellen åstadkommer detta. Låt 945 beteckna en quotsmoothing constantquot (ett tal mellan 0 och 1). Ett sätt att skriva modellen är att definiera en serie L som representerar den nuvarande nivån (dvs lokal medelvärde) för serien som uppskattad från data fram till idag. Värdet på L vid tid t beräknas rekursivt från sitt eget tidigare värde som detta: Således är det nuvarande utjämnade värdet en interpolation mellan det tidigare utjämnade värdet och den aktuella observationen, där 945 styr närheten av det interpolerade värdet till det senaste observation. Prognosen för nästa period är helt enkelt det nuvarande släta värdet: Likvärdigt kan vi uttrycka nästa prognos direkt i form av tidigare prognoser och tidigare observationer, i någon av följande ekvivalenta versioner. I den första versionen är prognosen en interpolation mellan föregående prognos och tidigare observation: I den andra versionen erhålls nästa prognos genom att justera föregående prognos i riktning mot det föregående felet med en bråkdel av 945. Är felet gjort vid Tid t. I den tredje versionen är prognosen ett exponentiellt vägt (dvs. rabatterat) glidande medelvärde med rabattfaktor 1-945: Interpolationsversionen av prognosformuläret är det enklaste att använda om du genomför modellen på ett kalkylblad: det passar in i en Encell och innehåller cellreferenser som pekar på föregående prognos, föregående observation och cellen där värdet 945 lagras. Observera att om 945 1 motsvarar SES-modellen en slumpmässig gångmodell (utan tillväxt). Om 945 0 motsvarar SES-modellen den genomsnittliga modellen, förutsatt att det första släta värdet sätts lika med medelvärdet. (Återgå till början av sidan.) Medelåldern för data i prognosen för enkel exponentiell utjämning är 1 945 i förhållande till den period som prognosen beräknas för. (Detta är inte tänkt att vara uppenbart, men det kan enkelt visas genom att utvärdera en oändlig serie.) Den enkla, snabba genomsnittliga prognosen tenderar därför att ligga bakom vändpunkter med cirka 1 945 perioder. Till exempel när 945 0,5 är fördröjningen 2 perioder när 945 0,2 är fördröjningen 5 perioder när 945 0,1 är fördröjningen 10 perioder, och så vidare. För en given medelålder (dvs mängden fördröjning) är prognosen för enkel exponentiell utjämning (SES) något överlägsen SMA-prognosen (Simple Moving Average) eftersom den placerar relativt större vikt vid den senaste observationen, dvs. Det är något mer quotresponsivequot för förändringar som inträffade under det senaste förflutna. Till exempel har en SMA-modell med 9 villkor och en SES-modell med 945 0,2 båda en genomsnittlig ålder på 5 för data i sina prognoser, men SES-modellen lägger mer vikt på de sista 3 värdena än SMA-modellen och vid Samtidigt gör det inte helt 8220forget8221 om värden som är mer än 9 perioder gamla, vilket visas i det här diagrammet. En annan viktig fördel med SES-modellen över SMA-modellen är att SES-modellen använder en utjämningsparameter som kontinuerligt varierar, så att den lätt kan optimeras Genom att använda en kvotsolverquot-algoritm för att minimera medelkvadratfelet. Det optimala värdet på 945 i SES-modellen för denna serie visar sig vara 0,2961, vilket visas här: Medelåldern för data i denna prognos är 10,2961 3,4 perioder, vilket liknar det för ett 6-sikt enkelt glidande medelvärde. De långsiktiga prognoserna från SES-modellen är en horisontell rak linje. Som i SMA-modellen och den slumpmässiga promenadmodellen utan tillväxt. Observera dock att de konfidensintervall som beräknas av Statgraphics avviker nu på ett rimligt sätt, och att de är väsentligt smalare än konfidensintervallen för slumpmässig promenadmodell. SES-modellen förutsätter att serien är något mer förutsägbar än den slumpmässiga promenadmodellen. En SES-modell är egentligen ett speciellt fall av en ARIMA-modell. Så ger den statistiska teorin om ARIMA-modeller en bra grund för beräkning av konfidensintervaller för SES-modellen. I synnerhet är en SES-modell en ARIMA-modell med en icke-säsongsskillnad, en MA (1) term och ingen konstant term. Annars känd som en quotARIMA (0,1,1) modell utan constantquot. MA (1) - koefficienten i ARIMA-modellen motsvarar kvantiteten 1-945 i SES-modellen. Om du till exempel passar en ARIMA (0,1,1) modell utan konstant till den analyserade serien här, visar den uppskattade MA (1) - koefficienten att vara 0.7029, vilket är nästan exakt en minus 0,2961. Det är möjligt att lägga till antagandet om en icke-noll konstant linjär trend till en SES-modell. För att göra detta, ange bara en ARIMA-modell med en icke-säsongsskillnad och en MA (1) term med en konstant, dvs en ARIMA (0,1,1) modell med konstant. De långsiktiga prognoserna kommer då att ha en trend som är lika med den genomsnittliga trenden som observerats under hela estimeringsperioden. Du kan inte göra detta i samband med säsongjustering, eftersom säsongsjusteringsalternativen är inaktiverade när modelltypen är inställd på ARIMA. Du kan dock lägga till en konstant långsiktig exponentiell trend till en enkel exponentiell utjämningsmodell (med eller utan säsongsjustering) genom att använda inflationsjusteringsalternativet i prognosproceduren. Den lämpliga quotinflationen (procentuell tillväxt) per period kan uppskattas som lutningskoefficienten i en linjär trendmodell som är anpassad till data i samband med en naturlig logaritmtransformation, eller det kan baseras på annan oberoende information om långsiktiga tillväxtutsikter . (Return to top of page.) Browns Linjär (dvs dubbel) Exponentiell utjämning SMA-modellerna och SES-modellerna antar att det inte finns någon trend av något slag i data (vilket vanligtvis är OK eller åtminstone inte för dåligt för 1- Stegvisa prognoser när data är relativt bullriga), och de kan modifieras för att införliva en konstant linjär trend som visas ovan. Vad sägs om kortsiktiga trender Om en serie visar en varierande tillväxthastighet eller ett cykliskt mönster som står klart ut mot bruset, och om det finns behov av att prognostisera mer än en period framåt, kan uppskattningen av en lokal trend också vara en fråga. Den enkla exponentiella utjämningsmodellen kan generaliseras för att erhålla en linjär exponentiell utjämning (LES) - modell som beräknar lokala uppskattningar av både nivå och trend. Den enklaste tidsvarierande trendmodellen är Browns linjära exponentiella utjämningsmodell, som använder två olika slätmade serier som centreras vid olika tidpunkter. Prognosformeln baseras på en extrapolering av en linje genom de två centra. (En mer sofistikerad version av denna modell, Holt8217s, diskuteras nedan.) Den algebraiska formen av Brown8217s linjär exponentiell utjämningsmodell, som den enkla exponentiella utjämningsmodellen, kan uttryckas i ett antal olika men likvärdiga former. Den här kvotens kvotstandardkvot uttrycks vanligtvis enligt följande: Låt S beteckna den singeljämnade serien som erhållits genom att applicera enkel exponentiell utjämning till serie Y. Det vill säga värdet av S vid period t ges av: (Minns att, under enkel Exponentiell utjämning, detta skulle vara prognosen för Y vid period t1.) Låt sedan Squot beteckna den dubbelsidiga serien erhållen genom att använda enkel exponentiell utjämning (med samma 945) till serie S: Slutligen prognosen för Y tk. För vilken kgt1 som helst, ges av: Detta ger e 1 0 (det vill säga lura lite och låt den första prognosen motsvara den faktiska första observationen) och e 2 Y 2 8211 Y 1. Varefter prognoser genereras med hjälp av ekvationen ovan. Detta ger samma monterade värden som formeln baserad på S och S om de senare startades med användning av S1S1Y1. Denna version av modellen används på nästa sida som illustrerar en kombination av exponentiell utjämning med säsongsjustering. Holt8217s linjär exponentiell utjämning Brown8217s LES-modell beräknar lokala uppskattningar av nivå och trend genom att utjämna de senaste uppgifterna, men det faktum att det gör det med en enda utjämningsparameter ställer en begränsning på de datamönster som den kan passa: nivån och trenden Får inte variera till oberoende priser. Holt8217s LES-modell tar upp problemet genom att inkludera två utjämningskonstanter, en för nivån och en för trenden. När som helst t, som i Brown8217s modell, finns det en uppskattning L t på lokal nivå och en uppskattning T t av den lokala trenden. Här beräknas de rekursivt från värdet av Y observerat vid tiden t och de tidigare uppskattningarna av nivån och trenden med två ekvationer som applicerar exponentiell utjämning till dem separat. Om den beräknade nivån och trenden vid tiden t-1 är L t82091 och T t-1. Respektive prognosen för Y tshy som skulle ha gjorts vid tid t-1 är lika med L t-1 T t-1. När det verkliga värdet observeras beräknas den uppdaterade uppskattningen av nivån rekursivt genom interpolering mellan Y tshy och dess prognos L t-1 T t 1 med vikter av 945 och 1- 945. Förändringen i beräknad nivå, Nämligen L t 8209 L t82091. Kan tolkas som en bullrig mätning av trenden vid tiden t. Den uppdaterade uppskattningen av trenden beräknas därefter rekursivt genom interpolering mellan L t 8209 L t82091 och den tidigare uppskattningen av trenden T t-1. Användning av vikter av 946 och 1-946: Tolkningen av trendutjämningskonstanten 946 är analog med den för nivåutjämningskonstanten 945. Modeller med små värden av 946 antar att trenden ändras endast mycket långsamt över tiden, medan modeller med Större 946 antar att det förändras snabbare. En modell med en stor 946 tror att den avlägsna framtiden är väldigt osäker, eftersom fel i trendberäkning blir ganska viktiga vid prognoser mer än en period framåt. (Återgå till början av sidan.) Utjämningskonstanterna 945 och 946 kan beräknas på vanligt sätt genom att minimera medelkvadratfelet i de 1-stegs-prognoserna. När detta görs i Statgraphics visar uppskattningarna att vara 945 0.3048 och 946 0.008. Det mycket lilla värdet på 946 innebär att modellen antar mycket liten förändring i trenden från en period till nästa, så i grunden försöker denna modell uppskatta en långsiktig trend. I analogi med begreppet medelålder för de data som används för att uppskatta den lokala nivån i serien är medelåldern för de data som används för att uppskatta den lokala trenden proportionell mot 1 946, men inte exakt lika med den . I det här fallet visar sig att vara 10.006 125. Detta är ett mycket exakt antal eftersom beräkningen av 946 är riktigt 3 decimaler, men den har samma generella storleksordning som provstorleken på 100, så att Denna modell är medeltal över ganska mycket historia för att beräkna trenden. Prognosplotten nedan visar att LES-modellen beräknar en något större lokal trend i slutet av serien än den ständiga trenden som uppskattas i SEStrend-modellen. Det uppskattade värdet på 945 är också nästan identiskt med det som erhållits genom att montera SES-modellen med eller utan trend, så det är nästan samma modell. Nu ser dessa ut som rimliga prognoser för en modell som beräknas beräkna en lokal trend. Om du 8220eyeball8221 ser det här, ser det ut som om den lokala trenden har vänt sig nedåt i slutet av serien. Vad har hänt Parametrarna i denna modell Har uppskattats genom att minimera det kvadrerade felet i 1-stegs-prognoser, inte längre prognoser, i vilket fall trenden gör inte en stor skillnad. Om allt du tittar på är 1 steg framåt, ser du inte den större bilden av trender över (säg) 10 eller 20 perioder. För att få denna modell mer i linje med vår ögonbolls extrapolering av data kan vi manuellt justera trendutjämningskonstanten så att den använder en kortare baslinje för trendberäkning. Om vi till exempel väljer att ställa in 946 0,1, är medelåldern för de data som används vid uppskattning av den lokala trenden 10 perioder, vilket betyder att vi medeltar trenden över de senaste 20 perioderna eller så. Here8217s vad prognosplottet ser ut om vi sätter 946 0,1 samtidigt som ni håller 945 0.3. Detta ser intuitivt rimligt ut för denna serie, men det är troligen farligt att extrapolera denna trend mer än 10 perioder i framtiden. Vad sägs om felstatistik Här är en modell jämförelse för de två modellerna ovan och tre SES-modeller. Det optimala värdet på 945. För SES-modellen är ungefär 0,3, men liknande resultat (med något mer eller mindre responsivitet) erhålls med 0,5 och 0,2. (A) Hål linjär exp. Utjämning med alfa 0,3048 och beta 0,008 (B) Hål linjär exp. Utjämning med alfa 0,3 och beta 0,1 (C) Enkel exponentiell utjämning med alfa 0,5 (D) Enkel exponentiell utjämning med alfa 0,3 (E) Enkel exponentiell utjämning med alfa 0,2 Deras statistik är nästan identisk, så vi kan verkligen göra valet på grundval Av prognosfel i 1 steg före proverna. Vi måste falla tillbaka på andra överväganden. Om vi starkt tror att det är vettigt att basera den nuvarande trendberäkningen på vad som hänt under de senaste 20 perioderna eller så kan vi göra ett ärende för LES-modellen med 945 0,3 och 946 0,1. Om vi vill vara agnostiska om det finns en lokal trend, kan en av SES-modellerna vara enklare att förklara och skulle också ge fler mitten av vägtrafikprognoserna för de kommande 5 eller 10 perioderna. (Tillbaka till början av sidan.) Vilken typ av trend-extrapolation är bäst: Horisontell eller linjär Empiriska bevis tyder på att om uppgifterna redan har justerats (om det behövs) för inflationen, kan det vara oskäligt att extrapolera kortsiktiga linjära Trender mycket långt in i framtiden. Tendenser som uppenbaras idag kan sänkas i framtiden på grund av olika orsaker som produktförstörelse, ökad konkurrens och konjunkturnedgångar eller uppgångar i en bransch. Av denna anledning utför enkel exponentiell utjämning ofta bättre ur prov än vad som annars skulle kunna förväntas, trots sin kvotiv kvot horisontell trend extrapolering. Dämpade trendmodifieringar av den linjära exponentiella utjämningsmodellen används också i praktiken för att införa en konservatismedel i dess trendprognoser. Den demonstrade LES-modellen kan implementeras som ett speciellt fall av en ARIMA-modell, i synnerhet en ARIMA-modell (1,1,2). Det är möjligt att beräkna konfidensintervaller kring långsiktiga prognoser som produceras av exponentiella utjämningsmodeller, genom att betrakta dem som speciella fall av ARIMA-modeller. (Var försiktig: inte all mjukvara beräknar konfidensintervall för dessa modeller korrekt.) Bredden på konfidensintervallet beror på (i) modellens RMS-fel, (ii) utjämningstypen (enkel eller linjär) (iii) värdet (Er) av utjämningskonstanten (erna) och (iv) antalet perioder framåt du prognoserar. I allmänhet sprids intervallet snabbare, eftersom 945 blir större i SES-modellen och de sprider sig mycket snabbare när linjär snarare än enkel utjämning används. Detta ämne diskuteras vidare i avsnittet ARIMA-modeller i anteckningarna. (Återgå till början av sidan.)
No comments:
Post a Comment